【安利】哥廷根之外无生活---黎曼（3）
19世纪德国哥廷根数学家安利
我们已经看到，讲师小黎曼有8个学生就已经开心的飞起了。然而，尽管他很认真地准备课程，学生还是纷纷抱怨他讲的太快跳跃太大，完全无法跟上思路。他脆弱的健康也阻止了他把更多精力投入到课程中。很显然，他没有留住学生，第二年他开了阿贝尔函数的课，一开始只有三个人来听，其中一个还是来蹭课的戴德金。好吧，至少学生数量在勉强的增加。到这学期结束时，他向家人汇报，有了五个学生，多了一个一年级新生和一个旁听生。
而小师弟戴德金则喜欢在上课中学习，开的课非常多，在狄利克雷的支持下，他开的课中甚至有德国当时还没人关心的群论课，边上边疯狂补充材料。以至于ETH(没错，就是爱大大的母校)跑来哥廷根挖人，在小黎曼和戴德金之间挑了半天，最后以小黎曼实在太腼腆而戴德金教课很不错为由挖走了戴德金。
顺便戴德金努力吹了一下师兄的讲课，说他细致认真很费神去适应学生了。好了，我们已经很熟悉戴德金的星星眼滤镜厚度了。
讲课好不好，当然并不影响黎曼在数学上的伟大，只好说他在讲课方面也非常是王子殿下嫡传弟子了。但是，非常影响小黎曼瘪瘪的钱包啊！要知道他全家贫病交加而且基本上全是肺结核潜伏病人啊！
我们已经说过小黎曼家里很穷了。而小黎曼迟迟挣不到钱，28岁（这是他通过讲师资格考试的年纪）之前完全靠家人养活。在这之后收的听课费也就勉强够个温饱。对比一下脱贫致富的戴德金，被ETH挖走去做副教授，年薪高达850塔勒。
狄利克雷接任王子殿下时，立刻注意到小黎曼捉襟见肘的窘况。他试图把小黎曼提拔成副教授，直到两年后才成功。但是，小黎曼这个副教授的薪水只有300塔勒一年……只比戴德金的三分之一稍微多一点。。。我要问了。。。哥廷根为什么这么穷！！！！
甩锅time~~多半是狄利克雷用爱发电没讨价还价就跑来哥廷根做王子殿下继任人~所以大学觉得可以随便压薪水吧（x）。讲道理，从王子殿下当年靠250塔勒的年金过的不错这点来看，不考虑几十年间的通货膨胀的话，或许这笔薪水是够养活小黎曼本人了。但是……
让小黎曼成为副教授的这篇论文《阿贝尔函数理论》是刚才说的只有三个学生的那门课的总结，也是黎曼创造力巅峰的成果，什么，你们问为什么两年才发两篇论文算是创造力巅峰（同年还发了一篇关于王子殿下超几何级数的推广论文）？朋友。你们要知道，小黎曼一辈子，总共就发了9篇论文，加上博士论文和就职演讲也才11篇，每篇都开拓了截然不同的数学领域。初版文集150页都没凑到。比王子殿下还要更坚定贯彻“宁可少些，但要好些”的座右铭，堪称字字珠玑、掷地金石，必须是王子殿下亲传弟子。这篇论文由于和魏尔斯特拉斯牵涉甚深，又联系到狄利克雷原理这出延绵半个世纪方有定论的大公案，放在后面魏尔斯特拉斯那里讲。这里只引用一句评论“黎曼对阿贝尔函数理论的发展之不同于魏尔斯特拉斯，有如月光之不同于日光。”大写白月光了ww。
尽管阿贝尔函数理论的文章让他立刻得到了当时全数学界的认可（很显然，几何演讲那种超越时代的大作，举世知音唯有王子殿下一人，而阿贝尔函数大家研究的比较透彻、比较容易理解小黎曼在说什么）但是这篇论文的创造背景却是浓的化不开的悲哀与痛苦。一个接一个的重击向他袭来，1855年10月，他始终依恋的家庭破碎了，他的牧师父亲去世，很快随之而去的还有另一个年幼的妹妹。剩下的三个姊妹失去了住处，她们投奔黎曼的弟弟，这位弟弟在不莱梅做邮政职员，收入或多或少比黎曼本人高一些。黎曼心碎不已，他往常总是把回家作为精神安慰，从此彻底失掉了这种慰藉。后面的一两年里，黎曼全力投入阿贝尔函数的工作，直到1857年完成上述论文。可是本就羞怯而安静的他精神变得很脆弱，经常陷入阴郁情绪，有些人传言他得了疑病症，用现代的说法来讲，也有抑郁症的意味。
戴德金，用黎曼传记作者的形容词来说，是那个“时而能够设法把他（黎曼）从孤寂的房间里拉出来的人”，怀着真挚的担忧看着黎曼。在黎曼完成论文工作后，黎曼要去哈尔茨堡休养旅行，戴德金不希望他独自旅行，劝说邻居Ritter陪他。接着又给正在哈尔茨堡的自家姊妹们写信。
“给你们推荐两位博士，黎曼和Ritter，来代替我自己。我常常跟你们谈前者，他现在很是不快乐，直到最近，为了完成几篇很重要的论文，他整个夏天都呆在不莱梅，然而孤寂的生活，加以身体病痛，使他极端地忧郁症，不信任其他人和他自己，尽管他表面态度依然很友好。现下，他完成了这些论文，可以想见，在哈尔茨堡平静地居留一段时间，和人们友好无害地相处，应该对他大为有益。我先前为这事写信给Mägde（戴德金的表兄弟），因为我压根不知道你们正好也在哈尔茨堡。另外那位绅士，我不太相熟，他决心为着旧日友谊，要陪黎曼在哈尔茨堡呆一些时间，他是个很有趣的人，见过许多世面，尽管有点粗鲁，甚至会惹人不快。我大约下周中可能会取道哈尔茨堡回不伦瑞克，起码花一天在哈尔茨堡陪陪黎曼；或者我也可以直接回不伦瑞克，一两天后再去哈尔茨堡走一趟。必须得尽其所能来把黎曼这样一个如此卓越，在科学上又最为重要的人从他此刻郁郁寡欢的状态中拯救出来。但是不能让他太清楚地认识到这种意图；很难帮助他，唯一能让他接受别人为他做好事的方式是想方设法说服他，这个人做这件事不单单是为了他，也是为了自己的好处；他讨厌麻烦别人。仅仅是因为他相信别人无法忍受他之类的，他能做得出最奇怪的事情。几乎用不着说，我请求你们深切地关心他。”
戴德金确实如他所言，之后来到哈尔茨堡，劝说黎曼陪他到山上去远足。这些活动令黎曼心情有所好转，但没能维持太久，从闲暇旅行回到哥廷根后，丽贝卡·狄利克雷就关切地向戴德金谈到黎曼近来举止怪异。狄利克雷终于说服大学，将黎曼提升为副教授，但几乎同时来了命运的重击，黎曼在不莱梅的弟弟去世了，黎曼肩负起了照顾剩下三个姊妹的重负，他恳求她们来哥廷根，和他生活在一起，越快越好。他的姊妹们终于来了，可是只有两个，最小的妹妹玛丽，和所有逝去的家人一样，也被肺结核夺去了生命。
和仅存的姊妹重聚，无疑对他是种慰藉，随着阿贝尔函数理论的发表，他得到的认可也越来越多。命运的折磨缩短了他短促的生命，但是并未消磨他的创造力。他的工作精细和美丽丝毫不见减少。
短短几年里，无论是在私人关系上或是数学上，黎曼变得更加形单影只，戴德金被苏黎世高薪挖走，不再回到哥廷根。狄利克雷恬静地随着妻子逝去。哥廷根大学毫不犹豫地将黎曼任命为他的继任者，可以肯定这是狄利克雷本人的愿望，甚至也是王子殿下的。为了减轻他的家庭负担，学校允许黎曼住在天文台里，和从前的王子殿下一样。
世人的认可——或许是来的有些迟了，但终究是来了。科学院们一个接一个将黎曼接纳为它的院士。首先是柏林科学院，为了表示答谢，黎曼和戴德金一起前往柏林。受到了柏林三巨头的热烈欢迎。当然也少不了科学讨论。关于狄利克雷原理的纠纷容后再表。柏林三巨头中最年轻的一位，克罗内克，听说黎曼在数论方面有许多隐而不表的发现，请求黎曼将这些结果展示出来。黎曼原本认为自己在数论方面的研究还不完整（基本是猜想，主要结果都没证明），在他的催促下，黎曼决定以《论小于某给定值的素数个数》为题写作论文，提交给科学院。
必须要说一下，某篇数学史论文提到此事时。十分惊恐地说了一句：“我们只能设想，如果黎曼没有访问柏林的话，会变成怎样？”仿佛在说小黎曼不发这篇论文世界就不转了23333.
当然小黎曼这篇论文的确是值得世界为之暂停赞叹一秒的那种文章。比之黎曼之前之后所有文章中无处不在的清晰透彻的几何直观。这篇纯数论文章完全摆脱几何的洞察，证实了黎曼的数感同样惊人。证明是缺损的，大部分的结论只是描述和猜想。但是得到它们的方式是如此的强有力和富于创造性，使得读过它的数学家不得不意识到，数论的世界已经变了。
经过半个19世纪和整个20世纪数学家的努力补充证明，这篇论文的大部分结论都已经放在固若磐石的基础上，但是有一个悬而未决的猜想，黎曼轻描淡写地说着：“我当然希望对此有一个严格证明，但是我在经历了一些徒劳尝试后，把对这样一个证明的探求放在一边，因为它对我研究工作当前的对象来说并不是必需的。”
黎曼这一放，就直到今天也没有解决。
这就是著名的黎曼猜想。下面，要开始一点点数学了。当然，篇（懒）幅（惰）所限，我将限定于解释清楚黎曼猜想的定义。有更深入兴趣的，推荐去看《素数之恋》一本非常美的书。
黎曼猜想只有短短的一句话~
ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2.
好哒，我知道，非专业读者看到这么一句话，大概都是一脸懵圈的，所谓每个字都认识连起来不知道说什么，现在，我们就来一个词一个词地解释这句话。
ζ函数的定义，我直接从wiki复制过来，这是无穷序列定义法。
嗯，我知道，这样看起来还是很懵逼，我们来举一两个简单的实例。
ζ（1），将s=1代入右边的式子，得到1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+……简而言之，就是所有分子为1分母为正整数的分数和。
那么是多少呢~~我们来试试看，从1加到1/10的话，大概是2.928968，加到1/100，也就只有5.1873775，增长速度慢的吓人，看起来似乎，大概，也许，可能可以收敛到一个有限和？
然而不行，这个式子求和下来，会得到无穷大。
一个简单的，我很喜欢的（其实是所有证明版本里唯一记得住的）证明
给左式加上括号，以每个1/2^n为括号结尾
1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+……＞1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……=1+1/2+1/2+1/2+……=∞
这也是为什么wiki上复制下来的定义有个Re（s）＞1的条件，也就是自变量的实数部分大于1的条件，因为等于1的时候求和结果是发散的w。
好吧，你们说发散的不好玩~~那么我们来求一下ζ（2）
再次从wiki上直接复制过来答案。
这个问题的答案，是少年欧拉的成名作。在那时，其他数学家大概知道，这个级数应当是收敛的，而且，通过一些暴力计算疯狂求和，大家也算出了这个求和的小数点前六位数值，是1.644934.但是这个数怎么来的，又要怎么证明，没人知道。
欧拉抛出了这个答案和自己的证明方法，当即被……什么你们以为会吹上天吗？当然是先集体锤爆一顿再说啦233333.
因为欧拉的证明方法，实在是，太过不走寻常路，其思路和想法，即使按照18世纪没人搞严格化的标准来看，也还是太离谱太不负责了。大家一直锤他锤到他乖乖用更一般的方法解决了所有的偶次幂倒数之和才算消停。
欧拉的解法切入点，上来就让人想问“从何处想来？”
欧拉同志理直气壮地认为，既然，所有的幂函数都可以根据零点写成乘积的形式。例，一般的二次函数可以写成y=A(x-x1)(x-x2)的形式。那么，我们为什么不能，把sinx写成无穷个零点乘积的形式呢？
可见大大就是大大，这第一步我就打死也想不到了。
欧拉大手一挥，看图可知，sinx的零点就是0、±π、±2π……这些小虾米嘛。很好写的。
sinx=Ax（π-x）（π+x）（2π-x）（2π+x）……
平方差公式化简
=Ax（π²-x²）[(2π)²-x²][(3π)²-x²]……
当然，零点乘积的话，前面始终有一个系数A在最前面，看了十分碍眼，怎样消掉它呢？
欧拉大大再度从箱底抄出一波~~sinx的泰勒展开
既然泰勒展开和无穷乘积指的都是sinx，那么它们应该严格相等，也就是说，无穷乘积乘开之后，x项的系数应该=1，x³项的系数应该等于-1/6，如此类推。
从x项的系数为1这一点，可以轻轻松松找到消除A的方法，那就是说，这个无穷乘积里，所有的常数乘积应该是1，那么干脆把它们全都化成1最为简单。得到：
sinx=x（1-x²/π²）[1-x²/(2π)²][1-x²/(3π)²]……
而这个式子的所有x³项之和为-x³/π²-x³/(2π)²-x³/(3π)²-……=（-x³/π²）（1+1/2²+1/3²+1/4²+……）
很好，我们知道，这一项的系数就该等于-1/6，也就是说
-1/6=（-1/π²）（1+1/2²+1/3²+1/4²+……）
π²/6=1+1/2²+1/3²+1/4²+……=ζ（2）
欧拉大大把这样的证明随手扔出来，并遭到了集体暴打，大家同意结果是π²/6，但是无穷乘积这种没人用过的方法看来如此不靠谱，欧拉又不是魏尔斯特拉斯这种肯耐心给无穷乘积打基础的。于是大家一直打到他换了个方法老老实实算出~ζ（4）=π^4/90,而对于一般的正偶数，
其中B_2n是第2n个伯努利数。之后才算消停。
欧拉委屈：你们根本不是真心想要严格证明！你们只是想骗我算更多答案！
顺便一说，对于一般的正奇数，至今为止只有数值解，没有像正偶数这样的式子解。
在黎曼出手之前，ζ函数尽管被欧拉伯努利等人折腾过，但还是一个普通的无穷级数和。只对自变量实部＞1的有解，而实际上根本是只算过s取实数时的值。
小黎曼戳了一戳，对它进行了一些~~~解析延拓。瞬间，把这个式子，变形成了这样。
其中
对于这个新的式子，s可以取所有复数。它展开到了整个复平面上，复数由实部和虚部组成。而新式子的平凡零点是很好计算的，就是所有的负偶数，因为Γ负偶数取无穷大。
从wiki的这个函数图像来看，很明显这个函数在左右两端的行为朴素又好预测。唯一一段发神经花纹复杂的部分，就是在实部Re（z）取0-1的部分。小黎曼也认为这一段的函数行为非常有趣。并且大胆预测，最神经病的直线~~啊不对。所有的非平凡零点（也就是除了负偶数点之外的所有零点）都在实部Re(s)=1/2这条直线上。
黎曼先生这篇论文写的超简略，很多该证明的地方都只一笔带过说易证（哼！根本就不易证，法国科学院几十年后甚至专门开了一期大奖请人给你补证明。
然而对于这个猜想他老老实实说，我也不会证2333，不过不证它也不是什么大事吧。结果，坑到今天也没有人证出来。
黎曼大大之懒得发表可见一斑在于。。。在大家为他这篇论文殚精竭虑大半个世纪后终于勉强找出一两种比较复杂的计算ζ函数非平凡零点的方法，大家想着，哎没鱼虾也好（x），不能从定义上推出证明，暴力破解一下也是好的，我们计算验证一下是不是每个点都在实部为1/2的直线上吧，万一撞大运了碰上一个不在的呢？或者，如果猜想是成立的，算个几百万个零点排一排，总是比较让人安心（x）
小黎曼从来没说过自己会算零点，提都没提这事。于是，在他发表这篇论文之后将近80年的时候，有哥廷根的讲师西格尔先生，从小黎曼的手稿堆里，猛然发现他其实会算零点的时候，简直惊呆了。更重要的是，小黎曼的计算方法，比当时发现的所有计算方法都更快更好，在发论文之前，黎曼自己还偷偷算了两三个来验证。
可是这些他都！不！写！超没人性了！
西格尔当即哭着发paper（不是），80年了啊！早点知道小黎曼会算我们能少走多少弯路啊！
小黎曼对自己的手稿可谓极其不负责任了，全都随便扔给一个叫Hattendorff的学生整理。小黎曼传记作者痛心疾首道：“这个学生意愿良好，心性忠诚，还能正确地做计算，然而没有足够的天赋独立发展黎曼的数学，他整理的黎曼讲座，以及他修订的黎曼关于最小曲面的手稿，都表现出了师生之间的天壤之别，无论是对待基础还是风格上。”
这个正确的做计算真的很嘲讽感了。哎讲道理要一个有足够天赋独立发展黎曼数学的学生这难度破表了好吗？王子能遇到小黎曼这么个学生就已经算是幸运炸了。再说了。人家Hattendorff老老实实好好整理没把手稿弄丢已经不容易了，看看隔壁巴黎莫名其妙失踪一堆的手稿咳咳（x）
戴德金先生可能是在ETH过的很清闲吧，1860年，他又找机会陪小黎曼去旅行，这次是去巴黎。然而我认为巴黎实在没有什么好说的！此刻法国的首席数学家埃尔米特性格超软，见谁都会吹上天。根据小黎曼的既然你们选我做院士我就应该还一篇论文给你们的原则。他往巴黎这个……知名的论文黑洞扔了篇论文。
太可恶了！小黎曼生前总共就发了9篇文章，为什么要扔一篇去巴黎啊好气！（虽然这篇在生前没有发表）
见过了阿贝尔……伽罗华……还有比小黎曼稍早两年但是还没提到他的莫比乌斯的投稿经历……你们应该都能猜到，小黎曼这篇。。。。依旧石沉大海。。。杳无音信。。。再也不用想从巴黎人手里拿回来了ヾ(￣▽￣)Bye~Bye~
唯一值得点赞的是小黎曼这篇论文发了一波和王子殿下的糖（x）小黎曼这篇《``Trouver quel doit être l'état calorifique d'un corps solide homogène indéfeni pour qu'un système de courbes isothermes, à un instant donné, restent isothermes après un temps quelconque, de telle sorte que la température d'un point puisse s'exprimer en fonction du temps et de deux autres variables indépendantes.''》看不懂对吧，我谷歌翻译出来的结果是““发现均匀固体的热状态是不确定的，这样在任何时刻，等温曲线系统在任何时刻都保持等温，因此点的温度可以 '表达为时间和其他两个自变量的函数。'”
好像翻出来不太对劲，不管了，反正我在黎曼全集目录里没看到类似标题，等找到了再按中文版修正过来好了，虽然小黎曼是作为物理文章的立场来写的，然而这篇文章的数学重点其实在于复平面上的映射概念，极小部分的相似性。它参考的是王子殿下1825年的一篇文章。王子殿下写完那篇文章，在开头加了一句铭文"Ab his via sternitur ad maiora"（它（的结果）铺平了通向更伟大事物的道路）
小黎曼光找这篇论文就找了好几年，因为王子不知随手往哪个杂志扔去了，总之，哥廷根图书馆里没有……后来还是狄利克雷老师温温柔柔地帮他找出来寄给他。小黎曼传记作者纠结起来~emm，微分映射这个概念到底他是从王子这儿学的还是自己想的呢，如果是前者的话就怪不得他玩命找了。如果是后者的话~说不定小黎曼只是王子殿下论文收集狂魔一定要看全~
不管怎样，小黎曼走上了王子殿下提示的这条道路，并将这句铭文稍加修改放在自己的文章开头“Et his principiis via sternitur ad majora.”（依照这些原则，这条路将会通向更伟大的事物）
下期预告：小黎曼的墓碑真的很美
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